jeżeli miała przyznany urlop

tak jak podajesz, to słusznie otrzymała to co otrzymała.

Miała nieprawidłowo przyznany urlop - powinna mieć go od 1 września do 31 sierpnia.

Trzynastka jej się należy, bo miała wynagrodzenie, a ono jest podstawą naliczenia trzynastki.

Czym innym jest prawo do 13-ki, a czym innym podstawa jej naliczenia.

Pracownik zatrudniony - w tym również przebywający na urlopie zdrowotnym - zachowuje prawo do 13-ki.
Szczegóły tu:
http://www.vulcan.edu.pl/doradca/00/trzynastka.html

Z podstawy naliczenia 13-ki wyłącza się natomiast pewne elementy wynagrodzenia.
Tymi elementami są m.in. ekwiwalent za niewykorzystany urlop wypoczynkowy i wynagrodzenie otrzymywane w czasie urlopu dla poratowania zdrowia.

Piszesz Reno:
"Czy słusznie otrzymała za lipiec i sierpień pensję (ekwiwalent za urlop wypoczynkowy)"
No to co on w końcu otrzymał?

Pensję? - Jeśli tak, to wlicza się ona w podstawę naliczenia 13-ki.
Czy też ekwiwalent za niewykorzystany urlop? - Jeśli tak, to się nie wlicza.

Z kontekstu wnoszę, że otrzymał jednak "pensję" - czyli wynagrodzenie za czas urlopu (nie mylić z ekwiwalentem za niewykorzystany urlop).