Osoba z obsługi ma przedłużoną umowę czy muszę teraz wystawić świadectwo pracy ?

Nie ma potrzeby. Świadectwo pracy wystawiasz, gdy umowa się zakończy, a tu biegnie dalej.

Co to znaczy przedłużona umowa ?

Czy aneksem (porozumienie stron) zmieniono obecną umowę, czy zawarto nową (kolejną umowę) ?

Jeżeli aneksem zmieniono umowę, to odpowiedź jak wyżej.

Przy kolejnej umowie stosujemy zapisy Kodeksu pracy - art. 97 § 1¹ 

Kodeks pracy

art. 97. § 1. W związku z rozwiązaniem lub wygaśnięciem stosunku pracy pracodawca jest obowiązany niezwłocznie wydać pracownikowi świadectwo pracy, jeżeli nie zamierza nawiązać z nim kolejnego stosunku pracy w ciągu 7 dni od dnia rozwiązania lub wygaśnięcia poprzedniego stosunku pracy. Świadectwo pracy dotyczy okresu lub okresów zatrudnienia, za które dotychczas nie wydano świadectwa pracy.

§ 1¹. W przypadku nawiązania z tym samym pracownikiem kolejnego stosunku pracy w ciągu 7 dni od dnia rozwiązania lub wygaśnięcia poprzedniego stosunku pracy, pracodawca jest obowiązany wydać pracownikowi świadectwo pracy wyłącznie na jego wniosek, złożony w postaci papierowej lub elektronicznej; wniosek może być złożony w każdym czasie i dotyczyć wydania świadectwa pracy dotyczącego poprzedniego okresu zatrudnienia albo wszystkich okresów zatrudnienia, za które dotychczas nie wydano świadectwa pracy.

§ 1². W przypadku, o którym mowa w § 1¹, pracodawca jest obowiązany wydać pracownikowi świadectwo pracy w ciągu 7 dni od dnia złożenia wniosku.  

(...)

Pierwsza umowa była na czas określony do 30.11.2017 r. ,a teraz dostanie drugą umowę na czas nieokreślony...

zatem stosujemy przytoczone wyżej zapisy Kodeksu pracy

nie ma obowiązku wydania świadectwa pracy

w tym przypadku świadectwo pracy wydajemy tylko na  wniosek pracownika

Zgodnie z art. 97 § 1¹ Kodeksu pracy, jeżeli pracownik pozostaje w zatrudnieniu u tego samego pracodawcy na podstawie:

• umowy o pracę na okres próbny,
• umowy o pracę na czas określony lub
• umowy o pracę na czas wykonania określonej pracy,

pracodawca jest obowiązany wydać pracownikowi świadectwo pracy obejmujące zakończone okresy zatrudnienia na podstawie takich umów, zawartych w okresie 24 miesięcy, poczynając od zawarcia pierwszej z tych umów.

Ja bym wydała świadectwo mając na uwadze, że umowa na czas nieokreślony pewnie skończy się dużo później niż po 24 miesiącach i nie obejmiesz obu umów na jednym świadectwie.

EDIT:

Chyba muszę sie wycofać z tego ;)

obecnie obowiązuje zapis podany w #03

natomiast przytoczony wyżej zapis Kodeksu pracy przestał obowiązywać 1.01.2017 r. 

zobacz: ustawa z 16 grudnia 2016 r. o zmianie niektórych ustaw w celu poprawy otoczenia prawnego przedsiębiorców (Dz.U. z 2016 r. poz. 2255)

A zapis o urlopie, nie zostanie wypłacony ekwiwalent ani nie wykorzystał pracownik tego urlopu to jak zapisać? Wykorzysta go przy tej drugiej umowie

nie

napisać ile wykorzystał (jeżeli nie wykorzystał wcale to wpisać 0) i nic więcej