dyrektor może lecz nie musi

wydać nowe świadectwo, o ile nie ma sporu co do zasadności korekty. Konieczny jest pisemny wniosek o sprostowanie, który załączasz do akt osobowych pracownika. Wypisujesz nowe świadectwo pracy na podstawie teczki akt osobowych, a nie starego świadectwa.

Stare świadectwo, to z błędem, koniecznie odbierasz od pracownika przed wydaniem nowego. Nowe świadectwo jest opatrzone datą bieżącą.

A oto podstawa prawna:
Kodeks Pracy art. 97 § 2(1). Pracownik może w ciągu 7 dni od otrzymania świadectwa pracy wystąpić z wnioskiem do pracodawcy o sprostowanie świadectwa. W razie nieuwzględnienia wniosku pracownikowi przysługuje, w ciągu 7 dni od zawiadomienia o odmowie sprostowania świadectwa pracy, prawo wystąpienia z żądaniem jego sprostowania do sądu pracy.

Rozporządzenie MPiPP z dnia 15 maja 1996 r. w sprawie szczegółowej treści świadectwa pracy oraz sposobu i trybu jego wydawania i prostowania (Dz. U. Nr 60, poz. 282, z poźn. zm.)

§ 5. ust. 1. Pracodawca zawiadamia pracownika na piśmie o negatywnym wyniku rozpatrzenia wniosku o sprostowanie świadectwa pracy w ciągu 7 dni od dnia otrzymania tego wniosku. W razie uwzględnienia wniosku, pracodawca wydaje pracownikowi w tym terminie nowe świadectwo pracy.
ust. 2. W razie uwzględnienia przez sąd pracy powództwa pracownika o sprostowanie świadectwa pracy, pracodawca jest obowiązany wydać pracownikowi niezwłocznie nowe świadectwo pracy, nie później jednak niż w ciągu 3 dni od dnia uprawomocnienia się orzeczenia sądu w tej sprawie.
[...]
ust. 5. W przypadkach określonych w ust. 1 zdanie drugie oraz w ust. 2 i 4 pracodawca jest obowiązany, najpóźniej w dniu wydania pracownikowi nowego świadectwa pracy, usunąć z akt osobowych pracownika i zniszczyć poprzednio wydane świadectwo pracy.

Czyli, poniewaz termin zawity już upłynął, nie musisz uwzględnić wniosku pracownika o sprostowanie świadectwa. Ale, jeśli uważasz, że pracownik słusznie domaga się tego sprostowania, to możesz wydać mu nowe świadectwo.

W przepisach nie ma słowa o tym, że jak po czasie to nie wolno. Jak termin upłynął, to pracownik nie może odwoływać się do sądu pracy od odmownej decyzji dyrka w tej sprawie.